18个等阶无穷小替换公式可以写成3组等阶无穷小量，分别如下：
(1)x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(x+1)~e^x-1~ln(x+根号(1+x^2))~(a^x-1)/lna~[(1+x)^a-1]/a; (共10个等阶无穷小量)
(2)x^2~2-2cosx~2根号(1+x^2)-2；(共3个等阶无穷小量)；
(3)x^3~6x-6sinx~3tanx-3x~6arcsinx-6x~2tanx-2sinx.(共5等阶无穷小量).
不难发现，每一组等阶无穷小量都有一个关于x的等项式与之对应。可以说，第一组是一阶无穷小量，第二组是二阶无穷小量，而第三组是三阶无穷小量。这里的”阶”指的是关于x的单项式中，x的指数。
所谓等阶无穷小，指的是两个无穷小量的商的极限等于1. 比如最常见的是第一个重要极限lim(x->0)sinx/x=1. 事实上，这个极限的倒数形式lim(x->0)x/sinx=1也是成立的。三组等阶无穷小量，一共18个无穷小量其实不止组成类似于第一个重要极限这样的等阶无穷小公式。其实第一组等阶无穷小量可以组成55个类似的公式；第二组等阶无穷小量可以组成6个类似的公式；第三组等阶无穷小量可以组成15个类似的公式。这里无法一一累述，希望你可以自己动手试一试，以加强对它们的理解和记忆。
等阶无穷小最主要的用途，当然就是应用在求极限时的等阶无穷小替换了。下面举几个运用等阶无穷小替换求极限的例子：
利用等阶无穷小量替换求极限：
(1)lim(x->0)arctanx/sin(4x)；(2)lim(x->0)(tanx-sinx)/sinx^3；
(3)lim(x->无穷大)(xarctan(1/x))/(x-cosx)；(4)lim(x->0)(根号(1+x^2)-1)/(1-cosx).
解：(1)因为arctanx~x, sin4x~4x,
所以原极限=lim(x->0)x/(4x)=1/4.
(2)因为tanx-sinx=sinx(1-cosx)/cosx，
又sinx~x, 1-cosx~x^2/2，sinx^3~x^3，lim(x->0)cosx=1，
所以原极限=lim(x->0)(x^3/2)/x^3=1/2.
(3)因为arctan(1/x)~1/x, 且cosx有界，
所以原极限=lim(x->无穷大)1/(x-cosx)=0.
(4)因为根号(1+x^2)-1~x^2/2, 1-cosx~x^2/2, 即根号(1+x^2)-1~1-cosx，
所以原极限=1.
怎么样，等阶无穷小替换运用起来是不是很简单啊？一切都建立在对等阶无穷小的理解以及上面三组等阶无穷小量的记忆的基础上。
