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数学史上的三大危机分别为无理数理论，微积分理论，罗素悖论，数学史上的三大猜想分别为费马大定理，四色定理，哥德巴赫猜想，这三大危机和三大猜想都间接地推动了整个数学理论的进步，许许多多的数学家也因此付出了巨大的贡献，才有了今天数学的伟大辉煌。
一、无理数理论
众所周知，世界上所有的实数都可以分为有理数和无理数。然而，在最初的时候并没有发现无理数的存在，所以很多数学家认为所有数都是有限小数，而希帕苏斯首先提出了二的算术平方根概念，发现了世界上有一类数，他们是无限不循环小数，然而遭受了当时科学界的否定。
二、微积分理论
微积分是世界数学史上璀璨的辉煌，微积分使用微元的概念，解决了很多不能够解决的问题。特别对于复杂的图形，有很厉害的求解作用，但是由于微积分刚提出来的时候，理论非常复杂，没有在当时的数学界广为接受。
三、罗素悖论
罗素悖论是对于集合理论的悖论，世界上所有的物体都能够通过集合来表达，但是罗素指出，如果一个集合中所有的元素都不是他本来的元素，那么这样的一个集合是否还能表现为原有的集合，这理论被称为罗素悖论，后来根据数学家修改集合的定义规则，才避免了这样的悖论。
四、费马大定理
费马大定理有这样一个猜想当整数n > 2时，关于x,y,z的不定方程 x^n + y^n = z^n 无正整数解。这样的一个看似简单的地理，后来经过后世许多人的证明，终于确定费马大定理成立，是数学史上的一个伟大猜想。
五、四色定理
四色定理表明，如果许多国家围绕着一个点拥有很多的边界，那么只要用四种颜色就能够将所有的国家全部区分开来，四色定理是对二维空间的终极解释，也表明了两个直线，只要相交一定有四个区的出现。
六、哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想，如果把1算做一个质数，那么世界上任何大于二的数都可以由三个质数通过相加的方式得成，后来科学家们经过艰难的计算，终于算出了哥德巴赫猜想。
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